CF703E Mishka and Divisors 题解
Zesty_Fox
2021-10-01 14:52:08
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为啥这题没有人写题解啊……~~是这道*2600太水了吗~~
考虑 DP，记 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个数中选出若干个数乘积为 $j$ 的方案中，元素个数最少为多少。
根据题目要求，可以再记一个 $g(i,j)$ 表示元素个数最少的前提下元素之和的最小值。
由于最后乘积要是 $k$ 的倍数（而不是恰好为 $k$），所以使用刷表法更好。转移式很好列出：（$g(i,j)$ 类似）
$$
f(i+1,\gcd(j\times a_i,k))=\min(f(i+1,\gcd(j\times a_i,k)),f(i,j)+1)
$$
但是这样显然是 $O(nk\log k)$ 的，无法通过。
不过，我们发现有很多状态都是无用的。根据转移式，$f(i,j)$ 中的 $j$ 显然只能是 $k$ 的因数，而 $10^{12}$ 以内因数个数最多的数仅有 $6720$ 个因数。
于是，我们预处理出 $k$ 的因数，每次转移时 $j$ 只选择 $k$ 的因数转移即可。
输出方案有一些细节。
时间复杂度 $O(n \operatorname{d}(k)\log k)$ 。
Code:
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>
inline T read(){
T x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
#define rdi read<int>
#define rdll read<ll>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
template<typename T>
inline T gcd(T x,T y){return !x?y:gcd(y%x,x);}
const int N=1010,M=7010,INF=0x3f3f3f3f;
int n;
ll a[N],b[N],k;
struct Node{
int cnt,fr;
bool use;
ll sum;
bool operator < (const Node &rhs)const{
return cnt!=rhs.cnt?cnt<rhs.cnt:sum<rhs.sum;
}
};
vector<ll> d;
int cnt;
unordered_map<ll,int> id;
Node f[N][M];
int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("1.in","r",stdin);
freopen("1.out","w",stdout);
#endif
n=rdi(),k=rdll();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rdll(),b[i]=gcd(a[i],k);
if(k==1){
int tmp=min_element(a+1,a+n+1)-a;
printf("1\n%d\n",tmp);
return 0;
}
for(ll i=1;i<=k/i;i++){
if(k%i==0){
d.pb(i);
if(i!=k/i) d.pb(k/i);
}
}
sort(d.begin(),d.end());cnt=d.size();
for(int i=cnt-1;i>=0;i--) id[d[i]]=i;
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=0;j<cnt;j++) f[i][j]={INF,0,0,0};
}
f[0][0]={0,0,0,0};
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<cnt;j++){
if(f[i][j].cnt==INF) continue;
f[i+1][j]=min(f[i+1][j],{f[i][j].cnt,j,0,f[i][j].sum});
int nxt=id[gcd((__int128)d[j]*b[i+1],(__int128)k)];
f[i+1][nxt]=min(f[i+1][nxt],{f[i][j].cnt+1,j,1,f[i][j].sum+a[i+1]});
}
}
if(f[n][cnt-1].cnt==INF) puts("-1");
else{
ll nowx=n,nowy=cnt-1;vi res;
while(nowx){
if(f[nowx][nowy].use) res.pb(nowx);
nowy=f[nowx][nowy].fr,nowx--;
}
printf("%lu\n",res.size());
for(auto x:res) printf("%d ",x);
puts("");
}
return 0;
}
```